Optics

1. 振幅和强度

振幅指复振幅（Complex Amplitude）， 它同时包含幅值和相位信息， 是描述光场完整状态的复数，无法直接测量；

强度（Intensity）是复振幅的模（幅值）的平方， 对应探测器实际响应的光功率密度， 因此可以测量。

术语	数学表达式	性质	物理意义
复振幅 (Complex Amplitude)	$\tilde{E} = A e^{i\phi}$	复数	完整描述光场（幅值+相位）
实振幅 (Amplitude)	$A = \tilde{E}$	实数	复振幅的模（幅值大小）
强度 (Intensity)	$I = \tilde{E} ^2 = A^2$	实数	可测量的光功率密度

2. 光的传播方向与相位的关系

2.1. 三维平面波的数学形式

沿任意方向传播的平面波电场：

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$

其中：

• $\mathbf{r} = (x,y,z)$ 是位置矢量
• $\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)$ 是波矢（常矢量）

波矢的模长和光的波长有关，为$2 \pi/\lambda$，是相位在空间上的变化快慢。

波矢方向垂直于等相位面（波前），波矢的方向就是光的传播方向。

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2.1.1. 相位函数

空间相位部分为：

$\phi(\mathbf{r}) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = k_x x + k_y y + k_z z$

（时间部分 $-\omega t$ 对空间梯度无贡献）

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2.1.2. 计算相位梯度

对 $\phi(\mathbf{r})$ 求梯度：

$\nabla\phi = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)(k_x x + k_y y + k_z z)$

逐项求导：

$\nabla\phi = \left(k_x, k_y, k_z\right) = \mathbf{k}$

结果一目了然：相位梯度 ∇φ 就是波矢 k 本身！

2.1.3. 等相面与传播方向

• 等相面方程：$\phi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = \text{常数}$

  • 这是一个平面，法向量就是 $\mathbf{k}$

• 梯度方向：∇φ = k 垂直于等相面

• 传播方向：能量沿 $\hat{\mathbf{s}} = \frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|}$ 流动

2.1.4. 具体数值例子

设波沿 $(1,1,0)$ 方向传播，在真空中波长 $\lambda = 500\,\text{nm}$：

• 波矢大小：$k = 2\pi/\lambda = 1.26\times10^7\,\text{m}^{-1}$
• 归一化方向：$\hat{\mathbf{s}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$
• 波矢分量：$\mathbf{k} = k\hat{\mathbf{s}} = \frac{k}{\sqrt{2}}(1,1,0)$
• 相位：$\phi = \frac{k}{\sqrt{2}}(x + y)$

梯度计算：

$\nabla\phi = \frac{k}{\sqrt{2}}(1,1,0) = \mathbf{k}$

对于平面波，相位梯度 ∇φ 直接等于波矢 k，其方向完美决定了光的传播方向。

3. 光的干涉

光的干涉是指两列或多列相干光波叠加时，在叠加区域内光强呈现稳定的不均匀分布现象。

产生条件（相干条件）两列波必须满足：

频率相同（波长相同）

振动方向相同（偏振不垂直）

相位差恒定（相干性）

两列相干光波的总电场矢量形式）：

$\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = \mathbf{A}_1 e^{i(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r} - \omega_1 t + \phi_1)} + \mathbf{A}_2 e^{i(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r} - \omega_2 t + \phi_2)}$

观测光强（时间平均）：

$I(\mathbf{r}) = \langle |\mathbf{E}_{\text{total}}|^2 \rangle = \frac{\epsilon_0 c}{2} \langle \mathbf{E}_{\text{total}} \cdot \mathbf{E}_{\text{total}}^* \rangle$

3.1. 干涉发生的理想情况（条件都满足）

条件：$\omega_1 = \omega_2 = \omega$，$\mathbf{A}_1 \parallel \mathbf{A}_2$，$\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \text{常数}$

干涉项：

$I_{\text{int}}(\mathbf{r}) = 2A_1A_2\cos[(\mathbf{k}_2-\mathbf{k}_1)\cdot\mathbf{r} + \Delta\phi]$

结果：稳定的明暗条纹！能量在空间周期性再分配。

3.2. 条件不满足时：频率不同 $\omega_1 \neq \omega_2$

代入：

$\mathbf{E}_{\text{total}} = \mathbf{A}_1 e^{i(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r} - \omega_1 t + \phi_1)} + \mathbf{A}_2 e^{i(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r} - \omega_2 t + \phi_2)}$

干涉项含时间：

$I_{\text{int}}(\mathbf{r},t) \propto 2A_1A_2\cos[(\omega_1-\omega_2)t + \text{空间项}]$

时间平均（探测器响应时间远大于光周期）：

$\langle\cos[(\omega_1-\omega_2)t + \dots]\rangle = 0$

结果：$I(\mathbf{r}) = I_1 + I_2$（均匀照明），条纹消失。

物理：相位差每秒旋转 $|\omega_1-\omega_2|$ 次，条纹移动太快，眼睛/探测器看到的是时间平均。

3.3. 条件不满足时：偏振垂直 $\mathbf{A}_1 \perp \mathbf{A}_2$

设：$\mathbf{A}_1 = \hat{\mathbf{x}}A_1$，$\mathbf{A}_2 = \hat{\mathbf{y}}A_2$

计算点积：

$\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2^* = \hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\mathbf{y}} \cdot A_1A_2 e^{i(\dots)} = 0$

干涉项：

$I_{\text{int}} \propto 2\text{Re}\{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2^*\} = 0$

结果：$I = I_1 + I_2$（均匀照明），无干涉。

物理：电场在正交方向振动，无法相互"调制"，就像上下跳和左右跳的人不会互相抵消。

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3.4. 条件不满足时：相位差不恒定 $\Delta\phi(t)$ 随机

设：$\phi_2(t) = \phi_2 + \delta\phi(t)$，$\delta\phi(t)$ 随机跳变

干涉项：

$I_{\text{int}}(\mathbf{r},t) \propto 2A_1A_2\cos[\Delta\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} + \Delta\phi + \delta\phi(t)]$

统计平均（长时间观测）：

$\langle\cos[\dots + \delta\phi(t)]\rangle = 0$

结果：$I = I_1 + I_2$（均匀照明），条纹模糊消失。

物理：条纹位置每秒随机移动无数次，最终平均成均匀背景。这就是普通光源（如灯泡）不能产生干涉的原因——原子发光相位随机。

条件	公式中的体现	干涉消失原因
频率不同	$e^{-i\omega t}$ 项不同	时间平均归零
偏振垂直	$\mathbf{A}_1 \cdot \mathbf{A}_2 = 0$	干涉项恒为零
相位随机	$\phi(t)$ 随机	统计平均归零

干涉的本质：时间稳定、方向平行、频率相同的相位关系，使复振幅叠加产生可观测的强度调制。任一条件破坏，干涉项在物理观测中即消失。

4. 成像与光的干涉

从波动光学的本质来看，成像就是干涉的结果！

4.1. 两种光学视角

4.1.1. 几何光学视角（传统）

• 描述：光线追迹，透镜折射
• 观点：像是"光线直接投射"形成的，不涉及干涉
• 局限：无法解释分辨率极限、衍射现象

4.1.2. 波动光学/傅里叶光学视角（现代，更本质）

• 描述：光作为波传播
• 核心观点：物体→空间频率分解→传播→像面干涉重构
• 优势：能完整解释所有成像现象

4.2. 成像的波动光学本质：干涉重构

根据阿贝成像原理，物体（透射函数 $O(x,y)$）可分解为无数平面波：

$O(x,y) = \iint \tilde{O}(k_x,k_y) e^{i(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y$

这些平面波经过透镜后，在像面发生干涉：

$I_{\text{image}}(x',y') = \left|\sum_{\mathbf{k}} \tilde{O}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}\right|^2$

结论：像面上的光强分布，是携带物体信息的所有平面波成分干涉叠加的结果。

4.3. 具体例子

4.3.1. 点光源成像（分辨率极限）

一个理想点光源发出的球面波，经透镜后在像面干涉形成艾里斑（Airy pattern）：

$I(r) = I_0 \left[\frac{2J_1(krNA)}{krNA}\right]^2$

中心亮斑 + 同心圆环 = 典型的衍射+干涉图样。

物理：这是有限的孔径导致高频空间频率丢失（被截断），剩余成分干涉只能形成有限大小的斑，而非理想点。

4.3.2. 相位反差显微镜

• 样品：透明细胞（只改变相位，不改变强度）
• 直接成像：几乎看不见（强度均匀）
• 原理：在傅里叶面相位板使零频成分产生 $\pi/2$ 相位延迟
• 结果：相位信息→强度变化，干涉使不可见相位变得可见

4.3.3. 全息成像

• 记录：物光波 + 参考光波 → 干涉条纹记录在底片
• 再现：参考光照射底片 → 衍射重构原物光波
• 本质：完全是干涉的记录与再现过程

4.4. 为什么日常感觉"不像干涉"？

• 非相干照明（灯泡）：不同点源之间相位随机，整体光强是强度叠加（非相干叠加）
• 相干照明（激光）：相位关系固定，复振幅叠加（干涉）

即使非相干照明，每个物点发出的光经系统后，自身衍射斑的形成仍是干涉，只是不同物点之间不相干。

4.5. 关键结论

成像类型	是否干涉	描述
相干成像（激光、显微镜）	明确是	像面是各空间频率成分的干涉图样
非相干成像（日常）	部分	各点自身衍射是干涉，点间是强度叠加
理想几何光学（无衍射）	不是	数学极限，物理不存在

最终答案：成像本质上是波动的干涉与衍射过程。所有成像系统的分辨率极限、像差、调制传递函数(MTF)等，都源于空间频率的传递与干涉重构。

现代光学设计（如超分辨、超表面透镜）正是通过精确调控光的相位和干涉来实现。

5. 光的衍射

光的衍射是指光波遇到障碍物或通过有限孔径时，偏离直线传播并向几何阴影区扩展的现象。这是光的波动性的又一核心证据，本质上是波前受限后产生的无限子波干涉。

惠更斯-菲涅尔原理： 波前上的每一点都是次级子波源，发射球面子波，这些子波的相干叠加构成新的波前。

无障碍：子波叠加后保持平面波（向前传播）

有障碍：边缘处子波无抵消 → 向阴影区弯曲

特性	干涉	衍射
波源	有限个（几个到几十个）相干波	无限多个子波（波前连续分割）
数学	离散求和 $\sum_n$	连续积分 $\int dS$
物理	波的叠加	波的叠加
条件	需要相干光源	任何波遇到障碍都发生
本质	有限波叠加	无限子波叠加

6. 时间频率和空间频率

沿任意方向传播的平面波电场：

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$

，其相位是时间和空间的函数，所以有时间频率和空间频率。

时间频率（光频）： 描述光波随时间振荡的快慢，对于单色光，时间频率是常数。

空间频率：相位在空间上的周期性变化；正是这种相位变化的快慢，在波叠加时通过干涉决定了最终图像光强的精细程度。

对不同空间频率的传递能力不同（光学传递函数OTF描述）。

维度	频率	描述什么变化快慢	例子
时间	$\omega$	时间上的振荡快慢	颜色（红橙黄绿）
空间	波矢$\mathbf{k}$	空间上的振荡快慢	纹理粗细（粗纹/细纹）

空间频率描述的是相位的空间变化，而不是光强的空间变化。

对于平面波：

$\tilde{E}(\mathbf{r}) = E_0 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$

• 空间频率：$\mathbf{k}$ 或 $|\mathbf{k}|$
• 物理意义：相位 $\phi(\mathbf{r}) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$ 在空间变化的快慢

重要事实：对于单个平面波，其光强是均匀的：

$I = |\tilde{E}|^2 = |E_0|^2 = \text{常数}$

没有空间变化！

在图像形成时的情况。当多个不同空间频率的平面波叠加时：

$\tilde{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{k}} A_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$

此时总光强：

$I(\mathbf{r}) = |\sum_{\mathbf{k}} A_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}|^2$

由于交叉项（干涉），光强不再是均匀的，其空间变化模式反映了各相位空间频率成分的相对关系。

1. 本质定义：

   • 时间频率 $\omega$：相位的时间变化率（$-\partial\phi/\partial t$）
   • 空间频率 $\mathbf{k}$：相位的空间变化率（$\nabla\phi$）

2. 在成像中的表现：

   • 高频的空间相位成分 → 干涉形成快速变化的光强细节（边缘、纹理）
   • 低频的空间相位成分 → 干涉形成缓慢变化的光强轮廓

7. 相消干涉

7.1. 数学条件

两个平面波在位置 $\mathbf{r}$ 的复振幅：

• 波1：$\tilde{E}_1 = A_1 e^{i\phi_1}$
• 波2：$\tilde{E}_2 = A_2 e^{i\phi_2}$

叠加结果：

$\tilde{E}_{\text{total}} = \tilde{E}_1 + \tilde{E}_2$

完全抵消的条件（理想情况）：

1. 振幅相等：$A_1 = A_2 = A$
2. 相位差为 $\pi$（即180°）：$\phi_2 = \phi_1 + \pi$

此时：

$\tilde{E}_{\text{total}} = A e^{i\phi_1} + A e^{i(\phi_1+\pi)} = A e^{i\phi_1} \underbrace{(1 + e^{i\pi})}_{=0} = 0$

7.2. 物理实例

1. 驻波的波节：两列反向传播的等幅平面波形成驻波，在某些点（波节）振幅恒为零。
2. 反反射涂层：设计薄膜厚度使上下表面反射光完全相消。
3. 迈克尔逊干涉仪：调节光程差，可使某位置光强为零（暗纹）。
4. 光学陷阱：两束激光干涉形成周期性零点，用于捕获冷原子。

7.3. 关键点

• 复振幅为0 → 光强 $I = |\tilde{E}|^2 = 0$（完全黑暗）
• 这是局域的：只在满足相位条件的空间点才发生
• 能量守恒：此处能量为0，必然在别处有相长干涉（能量加倍）

局域抵消不违背能量守恒，因为能量从暗区转移到了亮区，总能量不变。如果所有区域同时相消（全局为零），那才是违背能量守恒，但这种情况在物理上不可能发生。

局域性：干涉是强度在空间再分配，不是能量消灭

时间平均：瞬时能量密度可能局域为零，但时间平均总能量守恒

坡印亭矢量：相消区域能流为零，能量"绕道"流向相长区域

8. 瞳函数、点扩散函数和光学传递函数

8.1. 瞳函数（Pupil Function）（复数域，包含幅值和相位）

$P(x) = w(x) \exp[2\pi i\phi(x)]$

• $x$：瞳面空间坐标
• $w(x)$：振幅（孔径内为1，孔径外为0）
• $\phi(x)$：波前相位误差（孔径外振幅为0，相位无意义）

哈特曼探测器就是在测量瞳函数的相位梯度

测量对象	哈特曼探测器
瞳函数振幅 $w(x)$	子孔径总光强（积分）
瞳函数相位 $\phi(x)$	局部斜率（梯度）→ 积分重建，间接测量相位

8.2. 点扩散函数（Point Spread Function, PSF）（实数域，强度）

$h(\xi) = \left|\int P(x) \exp(-2\pi i \xi x) \, dx\right|^{2}$

• $\xi$：像面空间坐标
• 公式含义：瞳函数的傅里叶变换取模平方

实际上，哈特曼探测器和在焦相机就是在光路里面实现了对瞳函数（变形镜 处） 和点扩散函数的测量， 成像透镜就是实现了瞳函数到点扩散函数之间的傅里叶变换。

8.3. 光学传递函数（Optical Transfer Function, OTF）(复数域)

$H_o(f) = N_o \int P(x)P^{*}(x-f) \, dx$

• $f$：空间频率

• $N_o$：归一化常数

• 公式含义：瞳函数的自相关函数（其实就是点扩散函数的傅里叶变换，因为根据维纳-辛钦定理，点扩散函数是瞳函数傅里叶变换的模平方，对其再作傅里叶变换就等价于瞳函数的自相关运算）

• 模 $|H_o(f)|$ → 调制传递函数（MTF）（实数，描述对比度衰减）

• 相位角 $\arg(H_o(f))$ → 相位传递函数（PTF）（描述相位偏移）

8.3.1. 光学传递函数的物理意义

任何线性不变系统（光学系统是其一）满足：

正弦输入 → 同频正弦输出，仅幅度/相位改变

1. 输入：一个正弦光栅（条纹强度按正弦规律变化）
   数学形式：$I_{\text{in}}(x) = I_0 [1 + \cos(2\pi\xi_0 x)]$
   $\xi_0$ 就是其空间频率

2. 系统响应：该光栅经过光学系统后

   • 仍是同一频率的正弦条纹（线性系统保频特性）
   • 但对比度下降（幅度衰减）
   • 位置偏移（相位变化）

输出：

$I_{\text{out}}(x) = I_0 \left[1 + |H(\xi_0)| \cos\left(2\pi\xi_0 x + \arg H(\xi_0)\right)\right]$

• $|H(\xi_0)|$ ：该频率下的对比度衰减系数 → MTF
• $\arg H(\xi_0)$：该频率下的相位偏移 → PTF

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8.3.1.1. 点扩散函数的作用

1. PSF 是系统的脉冲响应：点光源 $\delta(x)$ 的成像结果

   $h(x) = \text{系统}\{\delta(x)\}$

2. 卷积定理：任意输入 $I_{\text{in}}(x)$ 的输出是

   $I_{\text{out}}(x) = I_{\text{in}}(x) * h(x)$

   （$*$ 表示卷积）

3. 频域关系：对两边做傅里叶变换

   $\mathcal{F}\{I_{\text{out}}\} = \mathcal{F}\{I_{\text{in}}\} \cdot \mathcal{F}\{h\}$

4. 定义OTF：

   $H(\xi) = \mathcal{F}\{h(x)\}$

点扩散函数是系统在空域的脉冲响应，其傅里叶变换OTF就是系统在频域的频率响应函数，直接给出每个空间频率正弦条纹的对比度衰减和相位偏移量，因此完整表征了系统的传递能力。

8.4. 三者关系链

$\text{瞳函数 } P(x) \xrightarrow{\text{傅里叶变换}} \text{场分布 } \mathcal{F}\{P(x)\} \xrightarrow{|\cdot|^{2}} \text{PSF } h(\xi) \xrightarrow{\text{傅里叶变换}} \text{OTF } H_o(f)$

9. 透镜与傅里叶变换

波前的空间频率分量对应着不同传播角度的平面波， 透镜将这些角度信息变换为焦平面的位置信息，因此透镜相当于把空间频率直接映射为位置信息，实现了傅里叶变换。

相位梯度正比于局部空间频率（或波前倾斜角）， 因此哈特曼探测器通过测量子孔径的角度信息直接获得相位梯度，进而积分重建瞳函数的相位分布。