Foundation for Topological Data Analysis
1. 持续同调
1.1. 同调群的目的是通过研究空洞和链的关系来刻画拓扑结构。本质上是要根据空洞的情况对链进行分类。为什么是定义为闭链群和边缘群的商群就能刻画拓扑，刻画空洞的情况。
要建立起研究拓扑结构的数学模型，这里从直观概念出发，总结了与空洞和链相关的 3 个 基本事实。根据这 3 个基本事实，我们可以更深刻的理解同调理论中的各种概念，比如闭 链，边缘算子，同调等，为什么这样定义。
- 任意一个 q 维单纯形是“实心的”，没有空洞的。所以所有 q 维丹村行的边缘链，以及 边缘链的线性组合，都是同调的（等价的），因为都没有空洞。
- 如果拓扑结构中有一个 q 维空洞，那么它一定是一个空心的 q 维单纯形, i.e., 复形 中不含该 q 维单纯形，但含有该单纯形的所有 q-1 维边缘。
- 如果某一个链，它是一个实心或空洞的单纯形边缘，或其线性组合，那么它是闭链，否 则它不是闭链。
由 2 和 3 可知，一定要研究闭链，而且只需要研究闭链，因为所有空洞都有围绕它的闭链 ，研究闭链不会落下任何一种空洞。但是闭链里面不一定都是空洞，有一部分闭链是实心的 （边缘链）。所以同调群定义为闭链和边缘链的商群是很合适的。
1.2. 边缘算子的定义
为什么这么定义边缘算子。猜测：只要这个定义和上面的三个假设是融洽的，就能研究拓扑 结构中的空洞，具体怎么样定义边缘算子是无所谓的。
1.3. 上面这套解释，解释了闭链中有一个空洞的情况，但是有的闭链里面有多个空洞，这个包含同样空洞的链，如何同调
再说明一个事实
- 包含同样空洞的任意两条闭链的差一定是边缘链。（好像前面 3 个事实可以推出 4）
现有的同调里面里面的定义都是满足这 4 个事实的，应该能对链进行分类，分类的依据是 它们包含空洞的不同。
1.4. 对闭链的直观理解
闭链被定义为在边缘算子下结果为 0 的链。但从思维的角度来说，与其说闭链依赖边缘算 子，不如说是边缘算子是为了满足闭链的性质 3，而设计的。
知道闭链的定义，但它具体表现上是什么样的，给定一个链如何直观的看出它是不是闭链。
根据 3 可知任意一个 q 维闭链一定是 q+1 维的空心或者实心单纯形的边缘，或其线性组 合。
给定一个 q 维闭链，它一定，而且只能把 q+1 维空间分割成不相交的若干区域。它是在 q+1 维空间中封闭的，里面的点和外面的点无法连通。
一个 q 维的链，只能围城 q+1 维的空洞。所以三棱锥的棱并没有围城三棱锥中间的空洞（ 空洞是三维的，一维的棱不能围城三维的空洞，不能封闭），三棱锥的面可以围城这个三维 的空洞。